Sunday, August 27, 2006

1. ¿Qué son los números enteros?

[Maple OLE 2.0 Object]


"Los números naturales (también llamados enteros positivos) son los números de contar 1, 2, 3, 4, 5,.... El número 2 surge al agregar una unidad al número 1, el número 3 surge al añadir una unidad al número 2 y así sucesivamente. El conjunto de números naturales se designa por la letra N:
N= {1,2,3,4,5,6,...}.
Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales, sus negativos (también llamados enteros negativos) y el 0. El conjunto de los números enteros se designa por Z:
Z= {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Obsérvese que el número 0 no se considera un número natural. El conjunto de los números enteros no negativos será designado por N U {0}. (U=Unión).
Sean a y b dos números enteros. A partir de las operaciones suma y producto, a + b y a b (ó a.b) es fácil definir otras operaciones llamadas diferencia (también resta o sustracción) y división"

Numeros enteros gestialba consultada 27 de agosto del 2006 http://www.gestialba.com/public/matematicas/matemcast101.htm

Sintesis:

Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero. Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales un subconjunto de los enteros.

"a) Números Enteros Positivos:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo +.
El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8
El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24
Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).

b) Números Enteros Negativos:
Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -.
El número -8 es un entero negativo.
El número -24 es un entero negativo.
Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -."

3-4
=
-1
2* 3
=
6
6: 2
=
3
3: 2
=
?

Síntesis:
Nº Enteros Positivos se les llaman asi a todos los números que representen una cantidad menor que el cero.

2. ¿Para qué sirven?

"El conjunto de los números enteros ( Z ) consta de los números naturales y los números enteros negativos ; éstos últimos surgieron de la necesidad de tomar en cuenta al contar los objetos que faltan, los que se deben o se pierden."

Numneros enteros Numeros Enteros mws consultada el 29 de agosto del 2006 http://valle.fciencias.unam.mx/~rocio/NUMEROSENTEROS.html

"Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros.

Históricamente, durante mucho tiempo fueron rechazados por creer que "no existían" y no fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado."

Numero entero wikipedia la enciclopedia libre consultada el 29 de agosto del 2006 http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero

Síntesis:

"El conjunto de los números enteros ( Z ) consta de los números naturales y los números enteros negativos.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos textos. Por ejemplo Temperaturas bajo 0, entre otras.

3. ¿A que conjunto pertenecen los números enteros?

"

Los números naturales pertenece al conjunto Z"

Conjuntos numericos Unlu consultado el 29 de agosto del 2006 http://www.unlu.edu.ar/~mapco/apuntes/110/mapco110.htm



"En la vida diaria se presentan situaciones en las que se necesita representar cantidades menores que cero, como por ejemplo la temperatura ambiental, la altura a la que se encuentra un punto geográfico con respecto al nivel del mar, un valor por una deuda, entre otras.
Estas cantidades menores que cero se conocen como números negativos y se los representa colocando el signo menos ( - ) antes de la cantidad.
De esta manera, el ámbito numérico se nos agranda hacia la izquierda de la recta numérica, donde el 0 es el origen.


Al conjunto de los números enteros se los representa con la letra Z
El conjunto de los números enteros está formado por la unión de:* los enteros positivos ubicados a la derecha del 0 (se representa Z+) * el cero (centro u origen) que no pertenece a los enteros positivos, ni a los enteros negativos* los enteros negativos ubicados a la izquierda del 0 (se representa Z-)."

Conjunto de los números enteros Edufuturo consultada el 29 de julio del 2006 http://www.edufuturo.com/educacion.php?c=3383

Síntesis:
En la vida diaria siempre se presentan situaciones de cantidades bajo cero, ejemplo, la temperatura ambiental, entre otras.
Estas cantidades bajo cero se conocen como números negativos.
Al conjunto de los números enteros se los representa con la letra Z.

4. ¿Cómo se ubican los números enteros en la recta numérica?
"Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referencia, podemos indicar con un signo + si está hacia la derecha y con un signo - si se ubica hacia la izquierda. De esta forma obtenemos dos conjuntos:


- Conjunto de números positivos
- Conjunto de números negativos
El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros."

Numeros Enteros Escolar Consultada el 27 de agosto del 2006

http://www.escolar.com/matem/13nument.htm

" Representación gráfica

Los números enteros se representan gráficamente en una recta:

w Los números positivos se ubican a partir del punto 0 hacia la derecha.

w Los números negativos se ubican a partir del punto 0 hacia la izquierda.

w Si dos números son iguales, les corresponde el mismo punto en la recta numérica.

w Si un número es menor a otro, el menor se ubica a la izquierda del mayor.

w Si un número es mayor a otro, el mayor se ubica a la derecha del menor.

w Cada número y su opuesto están a igual distancia del cero.

El conjunto de números enteros se designa con la letra Z. A partir de su representación gráfica se observa que:

w El conjunto de números enteros no tiene ni primer ni último elemento.

w Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.

w Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros, por lo que el conjunto es discreto."

Síntesis:

Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referenciaositivos. Los números enteros se representan gráficamente en una recta:
• Los números positivos se ubican a partir del punto 0 hacia la derecha.
• Los números negativos se ubican a partir del punto 0 hacia la izquierda.
• Si dos números son iguales, les corresponde el mismo punto en la recta numérica.
• Si un número es menor a otro, el menor se ubica a la izquierda del mayor.
• Si un número es mayor a otro, el mayor se ubica a la derecha del menor.
• Cada número y su opuesto están a igual distancia del cero.
El conjunto de números enteros se designa con la letra Z. A partir de su representación gráfica se observa que:
• El conjunto de números enteros no tiene ni primer ni último elemento.
• Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.
• Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros, por lo que el conjunto es discreto.

5. ¿Cómo se comparan los números enteros?

"Comparación de Números Enteros

Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:
a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Por ejemplo:
4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo.
+3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.

b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad.
Por ejemplo:
+5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3.
16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8.
+13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.

c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad.
Por ejemplo:
-2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor cantidad que 5.
-11 es mayor que -13, ya que 11 representa menor cantidad que 13"

Numeros enteros brinkster conusultada el 29 de gosto del 2006 http://www20.brinkster.com/fmartinez/aritmetica3.htm#comparo

"Comparación de números enteros positivos:

Sigue observando la Gráfica 1,en la recta vemos que +20 está a la derecha de +10. Además, se cumple que el valor absoluto de +20 es mayor que el valor absoluto de +10.

+20 = 20 +10 = 10 20 >10

Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

Comparación de números negativos:

Observa la gráfica 2. En la recta vemos que –2 está a la derecha de –18.En los números negativos ocurre al revés que en los positivos. Para comprenderlo, piensa ¿Cuándo tienes más dinero: cuando debes 2.000 ptas. (-2.000) o cuando debes 18.000 ptas. (-18.000)?.- 2.000 es mayor que – 18.000, aunque no lo sean sus valores absolutos

Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.

De todas formas, si te cuesta trabajo recordar esta regla, no olvides esta que es aún más fácil:

Para comparar dos números enteros los situamos en la recta numérica: cualquier número entero es mayor que otro situado a su izquierda. "

COMPRUEBA SI LO HAS COMPRENDIDO"

Haz clic en las actividades:

Actividad

Comparacion y ordenacion de numeros enteros cnice consultada el 29 de agosto del 2006 http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/unid-3/comparacion.htm

Síntesis:

a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.Por ejemplo:4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero


b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad.Por ejemplo:+5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3.

c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad.Por ejemplo:-2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor cantidad que 5.


6. ¿Adición, sustracción, multiplicación y división, radicación y potenciación de los números enteros?

La adición y sustracción de dos números enteros es uniforme ya que su resultado es único. Si a ambos miembros de una igualdad se le suma o resta un mismo número se obtiene otra igualdad.

Ley cancelativa

La ley cancelativa es la propiedad recíproca de la ley uniforme.

Elemento neutro

El número cero es el elemento neutro de la adición y sustracción de números enteros.

Elemento inverso

Todo número entero tiene un inverso llamado opuesto, de modo que la suma de ese número y su inverso es igual a cero.

Ley conmutativa

La adición de números enteros es conmutativa, ya que no depende del orden de los sumandos: al cambiar el orden de los sumandos la suma no varía.

La sustracción de números enteros no es conmutativa.

Ley asociativa

La adición de números enteros es asociativa, ya que no depende de la forma que se asocien los sumandos: si se reemplazan dos sumandos por su suma efectuada, la suma no varía.

La sustracción de números enteros no es asociativa.

Leyes de monotonía

w Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta un mismo número, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.

w Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que las anteriores.

Producto de números enteros

Al realizar el producto de números enteros podemos distinguir dos casos:

w Producto de números de igual signo

w Producto de números de distinto signo

En la práctica, el producto de números enteros se rige de acuerdo a la siguiente regla, llamada regla de los signos:

El producto de varios números enteros es otro número entero, cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores y cuyo signo es:

w Positivo si el número de factores negativos es par.

w Negativo si el número de factores negativos es impar.

División de números enteros

La división de dos números enteros es otro número entero, cuyo valor absoluto es igual a la división de los valores absolutos del dividendo y el divisor, y cuyo signo es positivo cuando ambos tienen el mismo signo y es negativo cuando los números tienen distinto signo.

Producto de números enteros de igual signo

El producto de dos números enteros de igual signo es otro número entero de signo positivo, cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

Multiplicar dos números enteros de igual signo significa desplazarse hacia la derecha en la recta numérica:

Numeros enteros escolar consultado el 29 de agosto del 2006
http://www.escolar.com/avanzado/matema069.htm

SUMA Y RESTA DE NUMEROS ENTEROS:

1) Cuando los números enteros tienen el MISMO signo SE SUMAN y el resultado queda con el MISMO SIGNO que tienen los números que sumé.

EJEMPLO: 1 + 3 + 5 + 8 = 17

POSITIVOS POSITIVO

-1 - 3 - 5 - 8 = - 17

NEGATIVOS NEGATIVO

2) Cuando los números tienen DISTINTO SIGNO resto al mayor (en valor absoluto) el menor ( en valor absoluto) y el resultado ma da con el signo del mayor (en valor absoluto).

EJEMPLO: - 5 + 3 = -2 ME DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE

ESE SIGNO

5 - 3 = 2 ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE

ESE SIGNO

3) Si delante de un paréntesis , corchete o llave no hay nada entonces hay un signo positivo que no se escribe.

EJEMPLO:

HAY UN SIGNO POSITIVO

4) Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay :

a) un SIGNO NEGATIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y se CAMBIAN todos los signos de los números que están adentro.

EJEMPLO: - ( 4 - 3 ) = - 4 + 3 SE CAMBIAN LOS SIGNOS

b) un SIGNO POSITIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y se NO SE CAMBIAN los signos de los números que están adentro.

EJEMPLO: ( 4 - 3 ) = 4 - 3 NO SE CAMBIAN LOS SIGNOS

RESUMIENDO:

1) Si tengo varios números a sumar algunos positivos, otros negativos:

-7 + 4 - 2 + 8 - 3 - 5 + 1

1er PASO: Sumo los positivos

( 4 + 8 + 1 ) = 13

2 do PASO: Sumo los negativos anteponiendo el signo menos al paréntesis

- ( 7 + 2 + 3 + 5 ) = - 17

3 er PASO: Me queda

( 4 + 8 + 1 ) - ( 7 + 2 + 3 + 5 )

13 - 17

Busco la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor

13 - 17 = - 4

La diferencia entre 17 y 13 es de 4 y como el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, el resultado me da negativo.

MULTIPLICACION Y DIVISION DE NUMEROS ENTEROS:

1) Si multiplico o divido números enteros tengo que atenerme a la siguiente regla de signos:

a) + . + = + EJEMPLO: 8 . 2 = 16

+ : + = + 8 : 2 = 4

b) - . - = + EJEMPLO: - 8 . (- 2) = 16

- : - = + - 8 : (- 2) = 4

c) + . - = - EJEMPLO: 8 . (- 2) = - 16

+ : - = - 8 : (- 2) = - 4

d) - . + = - EJEMPLO: - 8 . 2 = - 16

- : + = - - 8 : 2 = - 4

2) Si detrás de un número hay un número negativo entre paréntesis, quiere decir que entre los dos hay un signo de multiplicación que puede no escribirse.

EJEMPLO:

HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION

3) Cuando dos paréntesis, corchetes o llaves están juntos uno cerrado y el otro abierto y no hay ningún signo entre ellos , hay

un signo de multiplicación que puede no escribirse.

EJEMPLO:

HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION

4) Cuando hay un número al lado de un paréntesis, corchete entre el cual no hay ningun signo , entonces hay un signo de multiplicación que puede no escribirse.

EJEMPLO:

HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: Cuando una serie de números se están sumando y están todos siendo multiplicados por otro número puedo proceder de dos maneras diferentes:

a) Por propiedad distributiva: b) Resolviendo primero la suma:

1°) Multiplico signos .

2°) Multiplico números.

EJEMPLO: EJEMPLO:

POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS:

Cuando un número (base) está elevado a otro número (exponente) significa que hay que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente.

1) Propiedad de potencias de igual base:

a) Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes.

EJEMPLO:

b) Cuando se DIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes.

EJEMPLO:

2) Si una potencia está elevada a otro número , se MULTIPLICAN los exponentes.

EJEMPLO:

3) Las potencias con exponente par dan siempre como resultado números positivos:

EJEMPLO:

4) Las potencias con exponente impar tienen como resultado un número cuyo signo es igual al de la base.

EJEMPLO:

5)

a) La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION.

EJEMPLO:

b) La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.

EJEMPLO:

RADICACION DE NUMEROS ENTEROS:

Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el radicando.

PROPIEDADES DE LA RADICACION:

1)

a) Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION.

EJEMPLOS:

En la multiplicación En la división

b) NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.

EJEMPLOS:

En la suma En la resta

2)

a) Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo.

EJEMPLO:

b) Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.

EJEMPLO:

3) Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.

EJEMPLO:

Teoria de enteros el profesor consultada el 29 de agosto del 2006 http://el-profesor.8m.com/teoria_de_enteros.htm

7. Aplica las propiedades en la solución de ecuaciones de primer grado con números enteros.


Ecuaciones con números enteros Ejercitando consultada el 31 de agosto del 2006 http://www.ejercitando.com.ar/probmate/ecua_con_z_dv1.htm

8. Aplica propiedades y diferente métodos en la solución de problemas relacionados con los números enteros.

Un avión vuela a 3.500 m de altura y un submarino está sumergido en el mar 40 m. ¿Qué altura, en metros, separa el avión del submarino?
3.500 + 40 = 3.540 m

Ayer, a las 8 de la tarde el termométro marcaba 2ºC. A las 12 horas de la noche la temperatura descendió 5ºC. ¿Què temperatura marcó el termómetro a las 12 horas de la noche?

2ºC - 5ºC = -3ºC


Problemas cnice consultada el 31 de agosto de 2006
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/actividades/jbc41.htm


9. Aplicación de los números enteros en el plano cartesiano.

“El plano cartesiano está determinado por dos rectas llamadas ejes de coordenadas:
w El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas.
w El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas.
En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el cero.
w Positivo para los puntos ubicados a la derecha
w Negativo para los puntos ubicados a la izquierda
El segundo número del par ordenado (-3, 1) determina el desplazamiento vertical respecto del cero:
w Positivo para los puntos ubicados hacia arriba
w Negativo para los puntos ubicados hacia abajo.”


Plano Cartesiano. Fecha consultada: 28/08/06. Página consultada: http://www.escolar.com/avanzado/matema067.htm

Los números enteros en el plano cartesiano están formados por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘X’ y uno de las ‘Y’, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Ejemplos:
Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano.

El plano cartesiano Coliman consultado el 31 de agosto del 2006
http://coliman.tripod.com/mate/l_rectas.htm


Síntesis:

El plano cartesiano está determinado por dos rectas llamadas ejes de coordenadas

El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas.
El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas.

Los números enteros en el plano cartesiano están formados por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical.






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